Funciones Cuadraticas

Función y = x²

La función real de variable real en la que la variable dependiente varía con el valor del cuadrado de la variable independiente se denomina función cuadrática. La expresión general de la función cuadrática es la siguiente:

y = f (x) = ax² + bx + c     

Siendo a, b y c valores constantes, llamados coeficientes de la función.

Interpretación geométrica

Por su naturaleza, las funciones cuadráticas son continuas, y se representan gráficamente mediante parábolas. Así, una función cuadrática y = ax² + bx + c se corresponde con la ecuación de una parábola donde las abscisas de los puntos de intersección de la misma sobre el eje horizontal son las soluciones de la ecuación que resulta de igualar a cero dichas funciones, es decir:

La media aritmética de estas dos abscisas proporciona el valor de la abscisa del vértice de la parábola:

x_v = -b/2a.

La forma más sencilla de función cuadrática, y = ax², es una parábola cuyo vértice se encuentra en el origen de coordenadas, por lo que corresponde a una función simétrica con respecto al eje vertical.

Toda función cuadrática se puede escribir como y = a(x ? p)² + q, cuya forma gráfica es idéntica a la de y = ax², aunque desplazada p unidades en el eje horizontal y q en el eje vertical.

Representación de funciones cuadráticas simétricas con respecto al eje vertical.

Intersección entre recta y parábola

Para hallar los puntos de intersección entre una recta y una parábola, se ha de resolver el sistema formado por las ecuaciones representativas de estas dos entidades geométricas. En general, dicho sistema se expresaría como:

Por tanto, se trata de determinar los puntos comunes de una función lineal (la recta) y una función cuadrática (la parábola).

Este sistema de ecuaciones puede resolverse por medios algebraicos (por igualación y resolviendo la ecuación de segundo grado que resulta) o por medios gráficos.